Курс лекций “Введение в математическую физику горных пород”

Название курса: ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ФИЗИКУ ГОРНЫХ ПОРОД

Количество лекционных часов: 28

Количество лабораторно-практических занятий: не предусмотрено

Преподаватели: к.ф.-м.н. И.О. Баюк, к.ф.м.н. А.В. Вихорев

Содержание курса

 1. Основные сведения из векторного и тензорного анализа.

1.1.Понятия скаляра и вектора. Преимущества индексной записи (запись системы линейных уравнений, скалярного и векторного произведений). Преобразование координат. Общее понятие тензора. Ковариантные и контравариантные тензоры. Тензоры в декартовой системе координат. Тензорная алгебра. Специальные тензоры. Псевдотензоры.

1.2. Задача на собственные значения и собственные векторы тензоров второго ранга. Свойства собственных значений и собственных векторов симметричных тензоров второго ранга.

2.Основные понятия механики сплошных сред

2.1. Тензоры напряжений и деформаций. Определяющие соотношения материалов и закон Гука для сплошной среды, как предельный случай малых деформаций. Определение и свойства тензоров упругости и податливости. Понятие анизотропных сред. Геофизические примеры.

2.2. Матрицы модулей упругости и податливости. Переход от тензорной формы записи к матричной. Типы симметрии. Трансверсально-изотропная и орторомбическая среда. Теоретическое толкование упругих констант кристаллической решетки.

3. Горная порода как микронеоднородная, макроскопически анизотропная среда и ее эффективные физические свойства.

3.1. Общие положения, определения макроскопической и микроскопической неоднородности, сопоставление кристалла и горной породы, Закон Гука для однородной среды и горной породы, композит, кристаллит, зерно неоднородности, поровое пространство.

3.2.Представление об эффективных свойствах горной породы как сложно построенной среды.

4.Распространение линейных упругих волн в произвольно анизотропных средах

4.1.Уравнение, описывающее упругие волны в безграничной произвольно анизотропной среде. Плоские волны. Общее решение однородного волнового уравнения (без источника). Уравнение Грина – Кристоффеля и определение фазовых скоростей упругих волн. Поверхность Кристоффеля (или поверхность медленности).

4.2.Определение групповой скорости. Волновой пакет. Уравнение баланса энергии в среде, вектор Умова-Пойтинга и его физический смысл. Физический смысл групповой скорости. Геометрическая интерпретация: положение векторов групповой скорости на поверхности медленности.

4.3.Особенности распространения волн в сильно анизотропной среде. Обычные волны и каспы. Условие существования каспов и геометрическая интерпретация с помощью поверхности медленности (в пространстве волновых векторов).

4.4.Признаки сейсмической анизотропии. Экспериментальные методы изучения анизотропных сред в геофизике. Причины образования каспов. Причины сейсмической анизотропии в слоях Земли. Геофизическая информативность сейсмической анизотропии.

4.5.Волновое уравнение с источником. Точечный источник. Определение динамического тензора Грина. Запись решения неоднородного волнового уравнения с произвольным источником.

5.Синтетические сейсмограммы

5.1.Простейшая математическая модель источника сейсмического сигнала (очага микро-землетрясения), который находится внутри сплошной среды. Тензор сейсмического момента, его собственные векторы и собственные значения, их физический смысл. Разложение тензора второго ранга на шаровую и девиаторную части

5.2.Обратная задача определения механизма очага микро-землетрясения по сейсмическим данным измерений в скважине. Способы изучения резервуара нефтяного или газового месторождения.

6.Распространение линейных механических волн в сложно-построенных средах

6.1. Ограниченность спектра реального сигнала и её физические причины. Спектр дельта-функции и эволюция формы импульса при различном ограничении спектра. Узкополосные и широкополосные сигналы. Реализуемый частотный фильтр, сохраняющий принцип причинности. Передаточные функции фильтров.

6.2.Методы расчета волнового поля от точечного источника. Дальнее и ближнее поле. Понижение порядка волнового уравнения. Построение тензора Грина уравнения первого порядка, обобщения для более сложных моделей среды. Метод стационарной фазы для вычисления тензора Грина и нахождения времен вступлений волн различного типа и поляризации, в дальнем поле. Определение фазовой функции.

6.3.Проницаемая среда, насыщенная жидкостью или (и) газом. Система уравнений М.А.Био. Каковы причины возникновения частотной дисперсии и как она может проявляться в волновых измерениях. Распространение волн в слоистой среде с продуктивным слоем, теоретически возможные сейсмические признаки продуктивного слоя .

7.Микронеоднородные среды и их эффективные статические и динамические свойства

7.1.Понятие средних и эффективных модулей упругости. Эргодическая теорема. Метод Фойгта-Реусса-Хилла. Ограничения на компоненты эффективного тензора упругости. Вилка Хашина-Штрикмана. Метод обобщенного сингулярного приближения. Понятие корреляционной функции. Метод парных корреляционных функций.

7.2.Общая постановка задачи об эффективных свойствах микронеоднородной среды. Математическая формулировка задачи – определение эффективного оператора (например, волнового оператора, в динамике, или оператора уравнения равновесия, в статике).

7.3.Основные методы определения эффективных упругих свойств горных пород. Модель изолированных включений. Аспектное отношение. Метод Эшелби.

7.4.Метод обобщенного сингулярного приближения. Эффект возникновения сильной анизотропии при малой объемной концентрации включений с большим аспектным отношением. Угловые зависимости скоростей упругих волн.

7.5.Методы Фойгта и Ройсса определения эффективного тензора упругости поликристаллов. Получение ограничений на компоненты эффективного тензора упругости с помощью усреднений Фойгта и Ройсса.

7.6.Эффективные динамические свойства. Задание случайно-неоднородной среды с помощью корреляционных функций. Корреляционное приближение и рассеяние волн на неоднородностях среды. Зависимость скоростей и затухания упругих волн в случайно-неоднородной среде от частоты и направления. Лабораторный эксперимент Э. Фьяера.

7.7.Единый математический подход в изучении транспортных свойств порово трещиноватых сред. Корреляция электро-, теплопроводности и проницаемости с упругими характеристиками порово-трещиноватых сред.